AcWing 1294. 樱花

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一、解题思路

做了这题，感觉这类题目的大多数分析过程都是这样的:

• 求有多少对整数对\((x,y)\)满足一条方程，则方程一定存在解，将\(y\)转换为关于\(x\)的表示式，再根据\(y\)的约数条件，求出\((x,y)\)的匹配数，即一个\(x\)对应一个\(y\)

1、确定\(x,y\)范围

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\]

∵\(x,y∈Z^+\)
∴\(x>n!\) \(y>n!\) 小学数学知识~

2、推表达式

转换为y的表示式

\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}\]

变形

\[xn!+yn!=xy\]

继续变形

\[xn!=y(x-n!)\]

\[y=\frac{xn!}{x-n!}\]

经典的变形技巧：

\[y=\frac{(x-n!+n!)n!}{x-n!}\]

\[y=\frac{(x-n!)n!+n!^2}{x-n!}\]

\[y=n! + \frac{n!^2}{x-n!}\]

因为上面已经证明了\(x-n!>0\)的，所以要想\(y\)有正整数解，则必然需要

\[(x-n!)|n!^2\]

换句话说，就是\(n!^2\)有多少个约数，就有相应的正整数\(x\),也就有一个对应的\(y\)。
如果我们能够求得\(n!^2\)的约数个数，也就是\({x,y}\)的匹配对数。

3、阶乘分解质因数

参考 \(Acwing197\). 阶乘分解 的方法

• 先筛出\(n\)以内的质数
• 计算每个质数因子出现的次数

 for (int i = 0; i < cnt; i++) {        int p = primes[i];        int s = 0;        for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;        printf("%d %d\n", p, s);    }

4、约数个数

求\(n!^2\)一共有多少个约数
假设$$n!=P_1^{c_1} \times P_2^{c_2}\times ...\times P_k^{c_k}$$
则$$n!^2=P_1{2c_1}\times P_2^{2c_2}\times ...\times P_k^{2c_k}$$

根据约数个数定理
知道约数的个数是\((2c_1+1)\times (2c_2+1)\times …\times (2c_k+1)\)

5、时间复杂度 \(O(n)\)

二、实现代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const int mod = 1e9 + 7;//欧拉筛const int N = 1e6 + 10;int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n) {    memset(st, 0, sizeof st);    cnt = 0;    for (int i = 2; i <= n; i++) {        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {            st[primes[j] * i] = true;            if (i % primes[j] == 0) break;        }    }}int main() {    int n;    cin >> n;    //步骤1:筛质数    get_primes(n);    //步骤2：阶乘质因子分解    int res = 1;    for (int i = 0; i < cnt; i++) {        int p = primes[i];        int s = 0;        for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;        //步骤3：约数个数公式        res = (LL)res * (2 * s + 1) % mod;    }    cout << res << endl;    return 0;}

三、知识点总结

• 数学公式推导
  转化为一个自变量，一个因变量的形式，最终描述：有一个\(x\)，就能确定一个\(y\),需要满足xxx条件（一般是谁能整除谁之类，转化为求约数个数）

• 唯一分解定理

• 阶乘的质因子分解
  经典作法，除了背下来，多看几遍，还有啥更好的办法~

• 约数和公式