正三棱锥

前言

正三棱锥是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。所以正四面体是特殊的正三棱锥。以下为我们解题时常用的几种正三棱锥的配图，要熟练掌握。

也就是我们解题时需要手工配图的样式图。

相关性质

以下图为例，解释说明相关的性质，希望一次过手，一次记准。

1．底面 \(ABC\) 是等边三角形。

2．侧面 \(PAB\)、 \(PBC\)、 \(PAC\) 是三个全等的等腰三角形。

3．顶点 \(P\) 在底面 \(ABC\) 的射影 \(O\) 是底面三角形\(\triangle ABC\) 的中心[也是重心、垂心、外心、内心]。

4．为方便解题，我们常构造以下四个直角三角形：

①. 斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）

②. 高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）

③. 高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）

④. 斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。

说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。

典例剖析

球体与正四面体

• 正四面体的棱长为\(a\)，则其高为\(h=\cfrac{\sqrt{6}}{3}a\)；
• 正四面体的内切球球心、棱切球球心、外接球球心是同一个点，在正四面体的高上，是高线上接近底面的四等分点。

• 正四面体的内切球半径\(R_{内}=\cfrac{\sqrt{6}a}{12}=\cfrac{1}{4}h=IF\)；

• 正四面体与各棱相切的棱切球的半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{4}=IE\)；

• 正四面体的外接球半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{6}a}{4}=IC\)；

• 正四面体的内切球半径与外接球半径之比为\(R_{内}：R_{外}=1：3\)；\(R_{内}=\cfrac{1}{4}h\)；\(R_{外}=\cfrac{3}{4}h\)；\(h=\cfrac{\sqrt{6}}{3}a\)；

球体与正三棱锥

• 正三棱锥的棱长为\(a\)；则其高为\(h=\)；
• 正三棱锥的内切球半径；
• 正三棱锥的外接球半径；

球体与四面体

• 任意四面体都有内切球和外接球。

任意三角形都有内切圆，任意四面体都有内切球；任意三角形都有外接圆，任意四面体都有外接球；