浮点数的精度和转换

浮点数的精度和转换

float（24bits，有效位数，不包括指数部分和符号位，下同）和double（53bits）类型，指的是浮点数在内存中存储精度。而在FPU中，却存在着三种运算精度：single precision(24bits)，double precision(53bits)，double extended precision(64bits)。FPU的默认精度是53bits的double precision。D3D的CreateDevice函数会将FPU的运算精度改成24bits，除非指定了D3DCREATE_FPU_PRESERVE参数。

除了运算精度之外，FPU的Control Word中还有一个叫做RC的字段，控制浮点转整型的转换方式，共有四种转换方式：

1. round to nearest(even) 取整后的差值最小，即四舍五入方式，如前后的差值相等则取向偶数，如3.5则取得偶数4，2.5则取得偶数2。这是FPU的默认取整方式。

2. round down 向负无穷大方向取整（ceil函数），如3.5取得3，-3.5取得-4

3. round up 向正无穷大方向取整（floor函数），如3.5取得4，-3.5取得-3

4. round toward zero(truncate) 向零的方向取整（浮点数转整数），如3.5取得3 ，-3.5取得-3

一个32位的整数，如果转成float型存储在内存中，就有可能导致误差，因为float只有24位有效位；而转成double型存储在内存中，则不会导致误差，但是当FPU的运算精度为single precision时，一旦通过FPU进行了运算，就有可能导致误差。64位的int在double precision时也有类似的问题存在，因此猜想64位CPU上FPU的默认运算精度应该是double extended precision才对。

在游戏中，由于考虑到D3D的性能，我们的浮点运算精度是24bits的。同时，Lua的内部没有区分整型和浮点型，而统一采用了double类型来存储数值。如果仅仅是存储32bits的整型数据，那么不会造成任何问题。但是，一旦需要进行运算，则支持的整数范围其实已经降到了-2^24至2^24。

接下来分析以下6种转换过程：

1. dword->int 直接复制内存

2. int->dword 直接复制内存

3. dword->double

mov eax,dword ptr [dwNumber]
mov dword ptr [ebp-134h],eax
mov dword ptr [ebp-130h],0
fild qword ptr [ebp-134h]
fstp qword ptr [fNumber]

4. double->dword

fld qword ptr [fNumber]
fnstcw word ptr [ebp-12Eh] //*
movzx eax,word ptr [ebp-12Eh]
or eax,0C00h
mov dword ptr [ebp-134h],eax
fldcw word ptr [ebp-134h] //*这段将取整方式切换为向零取整
fistp qword ptr [ebp-13Ch]
fldcw word ptr [ebp-12Eh]
mov eax,dword ptr [ebp-13Ch]
mov dword ptr [dwNumber],eax

5. int->double

fild dword ptr [nNumber]
fstp qword ptr [fNumber]

6. double->int

fld qword ptr [fNumber]
call @ILT+215(__ftol2_sse) (4110DCh)
mov dword ptr [dwNumber],eax

fld指令从内存中将一个4字节（single）、8字节（double）、10字节（double extended）的浮点数压入FPU的浮点寄存器栈中

fstp指令从FPU的浮点寄存器栈中弹出一个浮点数，依据目标内存空间的大小转换成对应的精度，存入指定的内存地址

fild指令从内存中将一个2字节（word）、4字节（dword）或8字节（qword）带符号整数转换成一个浮点数并压入FPU的浮点寄存器栈

fistp指令从FPU的浮点寄存器栈中弹出一个浮点数，并转换成2字节（word）、4字节（dword）或8字节（qword）带符号整数存入指定的内存地址；在这个转换过程中，当浮点数过大时，如果control word中的invalid operation位被置0，则触发异常（Unhandled exception at 0x00411799 in test.exe: 0xC0000090: Floating-point invalid operation.），且不会向目标内存中存入任何数值；如果被置1（默认为1），则屏蔽异常，同时向目标内存中存入一个表示无限大的整数值。例如当目标内存为dword时，过大的负数会被转化成-2^31，而过大的整数会被转换成2^31。

__ftol2_sse函数在pentium机器上，会利用sse中的cvttsd2si指令，将一个double precsion的浮点数转换成一个带符号的32位整数，采用向零取整（truncate）方式。

由于浮点数操作指令中的整型数值都是带符号的，因此3号和4号转换中的无符号整数需要特殊处理。

如dword->int->double->dword的转换不会导致任何问题，而dword->double->int->dword的转换中double->int就会因为数值过大而触发异常，或者存入了无限大整数值而导致错误。

再来看看6种转换的效率：

1. dword->int 1（CPU周期，下同）

2. int->dword 1

3. dword->double 4

4. double->dword 56

5. int->double 0

6. double->int 26

测试环境：迅驰1.7G，VS2005，RDSTC空转耗时234个周期，以上数字已经减去该时间

由于流水线存在并行计算，所以5号转换的时间没有表现出来，而且所有周期数并不是实际消耗的周期数，但是反应出的消耗大小关系应该是正确的。

运算速度的测试结果：

float(24) float(53) double(24) double(53)
+ 5 5 5 5
- 5 5 5 5
* 5 5 8 8
/ 17 31 17 31
sin 805 610 390 170
sqrt 720 510 290 80

double类型加上默认运算精度，是FPU运算速度最快的组合。至于为什么D3D要求float(24)的组合，可能和显卡的带宽有关系，毕竟会使得带宽占用减少一半，而这很可能是显卡的主要性能瓶颈。不知道咋测试显卡相关的性能指标，随便猜测一下罢了。

附：切换control word的代码

WORD temp;

__asm //打开invalid operation异常
{
fnstcw word ptr [temp]
mov ax,word ptr [temp]
and ax,0FCFEh
or ax,3Eh
and ax,0F3FEh
mov word ptr [temp],ax
fldcw word ptr [temp]
};

__asm //切换到single precision运算精度 { fnstcw word ptr [temp] mov ax,word ptr [temp] and ax,0FCFFh or ax,3Fh and ax,0F3FFh mov word ptr [temp],ax fldcw word ptr [temp] };